Artikel ini adalah
tentang cabang matematika. Untuk kegunaan lain, lihat Aljabar (disambiguasi).
Aljabar adalah cabang
matematika tentang studi tentang struktur, hubungan, dan kuantitas.
Bersama-sama dengan geometri, analisis, kombinatorika, dan teori bilangan,
aljabar adalah salah satu cabang utama matematika. aljabar dasar sering menjadi
bagian dari kurikulum di pendidikan menengah dan memberikan pengenalan ide-ide
dasar aljabar, termasuk efek penambahan dan mengalikan angka, konsep variabel,
definisi polinomial, bersama dengan faktorisasi dan menentukan akar mereka.
Aljabar jauh lebih luas
daripada aljabar dasar dan dapat digeneralisasi. Selain bekerja secara langsung
dengan angka, aljabar mencakup bekerja dengan simbol, variabel, dan elemen set.
Penjumlahan dan perkalian dipandang sebagai operasi umum, dan definisi yang
tepat mereka menyebabkan struktur seperti kelompok, ringsfields. dan
Isi
[menyembunyikan]
1 Sejarah
2 Klasifikasi
3 aljabar Dasar
3.1 polinomial
4 aljabar Abstrak
4.1 Grup - struktur dari
satu set dengan operasi biner tunggal
4.2 Rings dan
bidang-struktur set dengan dua operasi biner tertentu, (+) dan (x)
5 Objek disebut aljabar
6 Lihat juga
7 Catatan
8 Referensi
9 Pranala luar
Sejarah
Artikel utama: Sejarah
aljabar
Lihat juga:
Sebuah halaman dari Al-Khwarizmi al-Kitab al-muḫtaṣar fi hisab al-Gabr
wa-l-muqabala
Sedangkan kata "aljabar" berasal dari kata Arab (al-jabr,
الجبر), asal-usulnya dapat ditelusuri ke Babel kuno, [1] yang mengembangkan
sistem ilmu hitung canggih yang mereka mampu melakukan perhitungan dalam
aljabar fashion. Dengan menggunakan sistem ini mereka mampu menerapkan rumus
dan menghitung solusi untuk nilai yang tidak diketahui untuk kelas masalah yang
biasanya dipecahkan hari ini dengan menggunakan persamaan linear, persamaan
kuadrat, dan persamaan linear tak tentu. Sebaliknya, sebagian besar rakyat
Mesir dari era ini, dan sebagian besar India, Yunani dan matematikawan Cina
dalam milenium pertama SM, biasanya diselesaikan persamaan tersebut dengan
metode geometris, seperti yang dijelaskan dalam Rhind Mathematical Papyrus,
Sulba Sutra, Euclid Elements, dan The Nine bab pada Seni matematika. Karya
geometris dari Yunani, ditandai dalam Elements, memberikan kerangka untuk
generalisasi formula luar solusi dari masalah tertentu ke dalam sistem yang
lebih umum untuk menyatakan dan memecahkan persamaan.
Matematikawan Yunani Hero dari Alexandria dan Diophantus [2] melanjutkan
tradisi Mesir dan Babel, tapi buku Diophantus ini Arithmetica adalah pada
tingkat yang jauh lebih tinggi. [3] Kemudian, matematikawan Arab dan Muslim
mengembangkan metode aljabar ke tingkat yang jauh lebih tinggi dari
kecanggihan. Meskipun Diophantus dan Babel menggunakan metode ad hoc sebagian besar
khusus untuk memecahkan persamaan, Al-Khowarazmi adalah yang pertama untuk
memecahkan persamaan menggunakan metode umum. Dia memecahkan persamaan tak
tentu linear, persamaan kuadrat, urutan kedua persamaan tak tentu dan persamaan
dengan beberapa variabel.
Kata "aljabar" dinamai kata Arab "al-jabr, الجبر"
dari judul buku al-Kitab al-muḫtaṣar fi hisab al-Gabr wa-l-muqabala, الكتاب
المختصر في حساب الجبر والمقابلة, berarti The kitab Ringkasan Mengenai
Menghitung oleh Transposisi dan Pengurangan, sebuah buku yang ditulis oleh
matematikawan Persia Islam, Muhammad ibn Musa al-Khawarizmi (dianggap sebagai
"bapak aljabar"), di 820. kata Al-Jabr berarti "reuni".
Matematikawan Helenistik Diophantus secara tradisional telah dikenal sebagai "bapak
aljabar" tetapi dalam masa yang lebih baru ada banyak perdebatan mengenai
apakah al-Khwarizmi, yang mendirikan disiplin al-jabr, layak judul yang
sebaliknya. [4] Mereka yang mendukung titik Diophantus fakta bahwa aljabar
ditemukan di Al-Jabr adalah sedikit lebih dasar dari aljabar ditemukan di
Arithmetica dan Arithmetica adalah sinkopasi sementara Al-Jabr sepenuhnya
retoris. [5] Mereka yang mendukung titik Al-Khwarizmi dengan fakta bahwa ia
memperkenalkan metode "pengurangan" dan "menyeimbangkan"
(transposisi istilah dikurangi ke sisi lain dari persamaan, yaitu, pembatalan
istilah seperti di sisi berlawanan dari persamaan) yang istilah al-jabr awalnya
disebut, [6] dan bahwa ia memberikan penjelasan lengkap dari memecahkan
persamaan kuadrat, [7] yang didukung oleh bukti-bukti geometris, sementara
memperlakukan aljabar sebagai disiplin independen dalam dirinya sendiri. [8]
aljabar juga tidak lagi peduli "dengan serangkaian masalah yang harus
diselesaikan, namun sebuah eksposisi yang dimulai dengan istilah primitif di
mana kombinasi harus memberikan semua prototipe mungkin untuk persamaan, yang
untuk selanjutnya secara eksplisit merupakan objek sebenarnya dari studi."
Dia juga belajar persamaan untuk kepentingan sendiri dan "secara generik,
sepanjang itu tidak hanya muncul dalam perjalanan memecahkan masalah, tetapi
secara khusus dipanggil untuk mendefinisikan kelas tak terbatas masalah."
[9]
Persia matematika Omar Khayyam dikembangkan geometri aljabar dan
menemukan solusi geometris umum dari persamaan kubik. matematika lain Persia,
Sharaf al-Din al-Tusi, menemukan solusi aljabar dan numerik untuk berbagai
kasus persamaan kubik. [10] Ia juga mengembangkan konsep fungsi. [11] Para ahli
matematika India Mahavira dan Bhaskara II, Persia matematika Al-Karaji, [12]
dan matematikawan Cina Zhu Shijie, memecahkan berbagai kasus kubik, quartic,
quintic dan tingkat tinggi banyak persamaan dengan menggunakan metode numerik.
Acara kunci lain dalam
pengembangan lebih lanjut dari aljabar adalah solusi aljabar umum dari
persamaan kubik dan quartic, dikembangkan pada pertengahan abad ke-16. Ide
determinan dikembangkan oleh matematikawan Jepang Kowa SekiGottfried Leibniz
sepuluh tahun kemudian, untuk tujuan memecahkan sistem persamaan linier
simultan menggunakan matriks. Gabriel Cramer juga melakukan beberapa pekerjaan
pada matriks dan determinan dalam abad ke-18. aljabar abstrak dikembangkan pada
abad ke-19, awalnya berfokus pada apa yang sekarang disebut teori Galois, dan
isu-isu constructibility. di abad ke-17, diikuti oleh
Klasifikasi
Aljabar dapat dibagi
secara kasar ke dalam kategori berikut:
aljabar dasar, di mana
sifat dari operasi pada sistem bilangan real dicatat menggunakan simbol sebagai
"pemegang tempat" untuk menunjukkan constantsvariables, dan peraturan
yang mengatur ekspresi matematika dan persamaan yang melibatkan simbol-simbol
ini dipelajari (catatan bahwa ini biasanya meliputi subyek program yang disebut
aljabar menengah dan aljabar perguruan tinggi), juga disebut tahun kedua dan
aljabar tahun ketiga; dan
aljabar abstrak,
kadang-kadang juga disebut aljabar modern, di mana struktur aljabar seperti
kelompok, cincin dan bidang yang aksiomatik didefinisikan dan diselidiki.
aljabar linier, di mana
sifat-sifat khusus dari ruang vektor yang dipelajari (termasuk matriks);
aljabar universal, di
mana sifat umum untuk semua struktur aljabar yang dipelajari.
nomor teori aljabar, di
mana sifat dari nomor yang dipelajari melalui aljabar sistem. nomor teori
terinspirasi banyak dari abstraksi asli dalam aljabar.
Algebraic geometri dalam
aspek aljabar.
kombinatorika aljabar,
di mana metode aljabar abstrak digunakan untuk mempelajari pertanyaan
kombinasi.
Dalam beberapa arah dari
studi lanjutan, sistem aljabar aksiomatik seperti kelompok, cincin, bidang, dan
aljabar atas lapangan diselidiki dengan adanya struktur geometris (metrik atau
topologi) yang kompatibel dengan struktur aljabar. Daftar ini mencakup sejumlah
bidang analisis fungsional:
ruang linear bernorma
ruang Banach
ruang Hilbert
aljabar Banach
aljabar bernorma
aljabar topological
kelompok topological
aljabar dasar
Artikel utama: aljabar
Dasar
aljabar dasar adalah
bentuk paling dasar dari aljabar. Hal ini diajarkan kepada siswa yang dianggap
tidak memiliki pengetahuan matematika di luar prinsip-prinsip dasar aritmatika.
Dalam aritmatika, hanya angka dan operasi aritmatika mereka (seperti +, -, ×,
÷) terjadi. Dalam aljabar, angka sering dilambangkan dengan simbol (seperti, x,
atau y). Hal ini berguna karena:
Hal ini memungkinkan
formulasi umum hukum aritmatika (seperti a + b = b + aa dan b), dan dengan
demikian merupakan langkah pertama untuk eksplorasi sistematis sifat-sifat
sistem bilangan real. untuk semua
Hal ini memungkinkan
referensi untuk "tidak diketahui" nomor, perumusan equationsx
sehingga 3x + 1 = 10 "). Dan studi tentang bagaimana untuk memecahkan ini
(misalnya," Cari nomor
Hal ini memungkinkan
perumusan hubungan fungsional (seperti "Jika Anda menjual xx - 10 dolar,
atau f (x) = 3x - 10, dimana f adalah fungsi, dan x adalah jumlah yang fungsi
ini diterapkan."). tiket, maka keuntungan Anda akan 3
Artikel utama:
Polinomial
Sebuah polinomial adalah
ekspresi yang dibangun dari satu atau lebih variabel dan konstanta, hanya
menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian (di mana diulang
perkalian dari variabel yang sama standardly dilambangkan sebagai eksponensial
dengan non-negatif seluruh nomor eksponen konstan) . Misalnya, x2 + 2x - 3
adalah polinomial dalam satu variabel x.
Sebuah kelas penting
dari masalah dalam aljabar adalah faktorisasi polinomial, yaitu, mengungkapkan
polinomial diberikan sebagai produk polinomial lain. Contoh polinomial di atas
dapat diperhitungkan sebagai (x - 1) (x + 3). Sebuah kelas terkait masalah
adalah menemukan ekspresi aljabar untuk akar polinomial dalam satu variabel.
aljabar abstrak
Artikel utama: aljabar
Abstrak
Lihat juga: struktur
aljabar
aljabar abstrak
memperluas konsep akrab ditemukan dalam aljabar dasar dan aritmatika dari nomor
ke konsep yang lebih umum.
Set: Daripada hanya
mempertimbangkan berbagai jenis nomor, penawaran aljabar abstrak dengan konsep
yang lebih umum dari set: koleksi semua objek (disebut elemen) yang dipilih
oleh properti, khusus untuk set. Semua koleksi dari jenis akrab nomor yang set.
Contoh lain dari set termasuk himpunan semua matriks dua-dua, himpunan semua
polinomial tingkat dua (ax2 + bx + c), himpunan semua dua vektor dimensi di
pesawat, dan berbagai kelompok terbatas seperti kelompok siklik yang
merupakansekelompok bilangan bulat modulo n. Set teori adalah cabang dari
logika dan tidak secara teknis cabang aljabar.
operasi biner: Gagasan
Selain (+) disarikan untuk memberikan operasi biner, * katakan. Gagasan operasi
biner ada artinya tanpa set yang operasi didefinisikan. Untuk dua elemen a dan
b dalam satu set S, a * b adalah elemen lain di set; Kondisi ini disebut
penutupan. Selain itu (+), pengurangan (-), perkalian (×), dan pembagian (÷)
bisa operasi biner ketika didefinisikan pada set yang berbeda, seperti
penjumlahan dan perkalian matriks, vektor, dan polinomial.
elemen identitas:
Nomor nol dan satu diabstraksikan untuk memberikan gagasan elemen identitas
untuk operasi. Nol adalah elemen identitas untuk penambahan dan satu adalah
elemen identitas untuk perkalian. Untuk operator biner umum * identitas elemen
e harus memenuhi * e = a dan e * a = a. Ini berlaku untuk Selain sebagai aa dan
0 + a = a dan perkalian × 1 = a dan 1 × a = a. Tidak semua diatur dan kombinasi
Operator memiliki unsur identitas; misalnya, bilangan positif (1, 2, 3, ...)
tidak memiliki elemen identitas untuk penambahan. + 0 =
unsur balikan: The
angka negatif menimbulkan konsep unsur balikan. Untuk itu, kebalikan dari yang
-a, dan untuk perkalian invers adalah 1 / a. Sebuah unsur balikan umum-1 harus
memenuhi properti bahwa * a-1 = e dan a-1 * a = e.
Associativity:
Penambahan bilangan bulat memiliki sifat yang disebut associativity. Yaitu,
pengelompokan angka yang akan ditambahkan tidak mempengaruhi jumlah. Sebagai
contoh: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). Secara umum, ini menjadi (a * b) * c = a *
(b * c). Properti ini dimiliki oleh kebanyakan operasi biner, tetapi tidak
pengurangan atau divisi atau oktonion perkalian.
Komutatif: Penambahan
bilangan bulat juga memiliki sifat yang disebut komutatif. Artinya, urutan
nomor yang akan ditambahkan tidak mempengaruhi jumlah. Sebagai contoh: 2 + 3 =
3 + 2. Secara umum, ini menjadi * b = b * a. Hanya beberapa operasi biner
memiliki properti ini. Ini berlaku untuk bilangan bulat dengan penjumlahan dan
perkalian, tetapi tidak berlaku untuk perkalian matriks atau angka empat
perkalian.
Kelompok - struktur
set dengan operasi biner tunggal
Artikel utama: Group
(matematika)
Lihat juga: teori dan
Contoh Grup Grup
Menggabungkan konsep
di atas memberikan salah satu struktur yang paling penting dalam matematika:
kelompok. Sebuah kelompok adalah kombinasi dari satu set S dan satu biner
operasi *, yang didefinisikan dengan cara apapun yang Anda pilih, tapi dengan
sifat sebagai berikut:
Sebuah elemen
identitas e ada, sehingga untuk setiap anggota dari S, e * a dan * ea. keduanya
identik dengan
Setiap elemen memiliki
invers: untuk setiap anggota dari S, terdapat anggota a-1 sehingga a * a-1
dan-1 * a keduanya identik dengan elemen identitas.
Operasi ini asosiatif:
jika a, b dan c adalah anggota dari S, maka (a * b) * c identik dengan * (b *
c).
Jika kelompok ini juga
komutatif-yaitu, untuk setiap dua anggota a dan b dari S, a * b identik dengan
b * a-maka kelompok ini dikatakan Abelian.
Misalnya, himpunan
bilangan bulat di bawah operasi penjumlahan adalah kelompok. Dalam kelompok
ini, elemen identitas adalah 0 dan kebalikan dari setiap elemen adalah negasi
yang, -a. Persyaratan associativity terpenuhi, karena untuk setiap bilangan
bulat a, b dan c, (a + b) + c = a + (b + c)
Nomor rasional nol membentuk
kelompok bawah perkalian. Di sini, unsur identitas adalah 1, karena 1 × a = a ×
1 = untuk setiap bilangan rasional a. Kebalikan dari adalah 1 / a, sejak × 1 /
a = 1.
Bilangan bulat di bawah
operasi perkalian, bagaimanapun, tidak membentuk sebuah kelompok. Hal ini
karena, secara umum, kebalikan perkalian integer bukan integer. Misalnya, 4
adalah bilangan bulat, tapi invers perkalian adalah ¼, yang tidak integer.
Teori kelompok
dipelajari dalam teori grup. Hasil utama dalam teori ini adalah klasifikasi
sederhana kelompok terbatas, sebagian besar diterbitkan antara 1955 dan 1983,
yang diduga untuk mengklasifikasikan semua kelompok terbatas sederhana menjadi
sekitar 30 tipe dasar.
contoh
Set:
bilangan N
bilangan bulat Z
Rasional nomor Q (juga R
nyata dan nomor C kompleks)
Integer modulo 3: Z3 =
{0, 1, 2}
Operasi
+
× (w / o nol)
+
× (w / o nol)
+
-
× (w / o nol)
÷ (w / o nol)
+
× (w / o nol)
Tutup
iya nih
iya nih
iya nih
iya nih
iya nih
iya nih
iya nih
iya nih
iya nih
iya nih
Identitas
0
1
0
1
0
N / A
1
N / A
0
1
Terbalik
N / A
N / A
-a
N / A
-a
N / A
1 / a
N / A
0, 2, 1, masing-masing
N / A, 1, 2,
masing-masing
asosiatif
iya nih
iya nih
iya nih
iya nih
iya nih
Tidak
iya nih
Tidak
iya nih
iya nih
komutatif
iya nih
iya nih
iya nih
iya nih
iya nih
Tidak
iya nih
Tidak
iya nih
iya nih
Struktur
monoid
monoid
kelompok abelian
monoid
kelompok abelian
quasigroup
kelompok abelian
quasigroup
kelompok abelian
kelompok Abelian (Z2)
Semigroups, quasigroups,
dan monoids adalah struktur mirip dengan kelompok, tetapi lebih umum. Mereka
terdiri satu set dan operasi biner tertutup, tetapi tidak selalu memenuhi
kondisi lainnya. Sebuah semigroup memiliki operasi biner asosiatif, tetapi mungkin
tidak memiliki unsur identitas. Sebuah monoid adalah semigroup yang tidak
memiliki identitas, tetapi mungkin tidak memiliki invers untuk setiap elemen.
Sebuah quasigroup memenuhi persyaratan bahwa setiap elemen dapat berubah
menjadi lain oleh pra atau pasca-operasi yang unik; Namun operasi biner mungkin
tidak asosiatif.
Semua kelompok yang
monoids, dan semua monoids yang semigroups.
Cincin dan
bidang-struktur set dengan dua operasi biner tertentu, (+) dan (x)
Artikel utama: cincin
(matematika) dan lapangan (matematika)
Lihat juga: teori Ring,
Istilah ring teori, teori lapangan (matematika), dan glossary dari teori medan
Kelompok hanya memiliki
satu operasi biner. Untuk sepenuhnya menjelaskan perilaku berbagai jenis nomor,
struktur dengan dua operator perlu dipelajari. Yang paling penting dari ini
adalah cincin, dan bidang.
Distributivity umum
hukum distributif untuk nomor, dan menentukan urutan operator harus diterapkan,
(disebut didahulukan). Untuk bilangan bulat (a + b) × c = a × c + b × c dan c ×
(a + b) = c × a + c × b, dan × dikatakan distributif atas +.
Sebuah cincin memiliki
dua operasi biner (+) dan (x), dengan distributif × atas +. Di bawah operator
pertama (+) membentuk sebuah kelompok Abelian. Di bawah operator kedua (×) itu
adalah asosiatif, tetapi tidak perlu memiliki identitas, atau terbalik,
sehingga divisi tidak diperbolehkan. Aditif (+) elemen identitas ditulis
sebagai 0 dan invers aditif dari ditulis sebagai -a.
Bilangan bulat adalah
contoh dari sebuah cincin. Bilangan bulat memiliki sifat tambahan yang
menjadikannya sebuah domain terpisahkan.
Bidang adalah cincin
dengan properti tambahan bahwa semua elemen termasuk 0 bentuk kelompok Abelian
bawah ×. The perkalian (×) identitas ditulis sebagai 1 dan invers perkalian
dari ditulis sebagai-1.
Nomor rasional, nomor
nyata dan kompleks nomor merupakan contoh bidang.
Benda yang disebut
aljabar
Kata aljabar juga
digunakan untuk berbagai aljabar struktur:
Aljabar atas lapangan
atau lebih umum aljabar atas cincin
Aljabar lebih set
aljabar boolean
F-aljabar dan
F-coalgebra dalam teori kategori
aljabar relasional
Sigma-aljabar
T-Algebras monads.
Lihat juga
proyek adik
Wikibooks memiliki lebih
pada topik
Aljabar
teorema dasar aljabar
Daftar topik aljabar
dasar
Daftar artikel
matematika
Urutan operasi
^ Struik, Dirk J. (1987). Sebuah Concise
History of Mathematics. New York: Dover Publications.
^ Diophantus, Bapak Aljabar
^ Sejarah Aljabar
^ Carl B. Boyer, A History of
Mathematics, Second Edition (Wiley, 1991), halaman 178, 181
^ Carl B. Boyer, A History of
Mathematics, Second Edition (Wiley, 1991), halaman 228
^ (Boyer 1991, "The Arab
Hegemoni" p. 229) "Hal ini tidak yakin apa istilah al-jabr dan
muqabalah berarti, tetapi interpretasi yang biasa mirip dengan yang tersirat
dalam terjemahan di atas. Kata al-jabr mungkin berarti sesuatu seperti "restorasi"
atau "selesai" dan tampaknya merujuk pada transposisi istilah
dikurangi ke sisi lain dari persamaan, yang muqabalah kata dikatakan merujuk
pada "pengurangan" atau "menyeimbangkan" - yaitu,
pembatalan seperti istilah di sisi berlawanan dari persamaan. "
^ (Boyer 1991, "The Arab
Hegemoni" p. 230) "Enam kasus persamaan yang diberikan di atas
knalpot semua kemungkinan linear dan persamaan kuadrat memiliki akar positif.
Jadi sistematis dan lengkap adalah eksposisi al-Khawarizmi yang pembacanya
harus memiliki sedikit kesulitan dalam menguasai solusi. "
^ Gandz dan Salomon (1936), Sumber
aljabar al-Khawarizmi, Osiris i, p. 263-277: "Dalam arti, Khwarizmi lebih
berhak untuk dipanggil" bapak aljabar "daripada Diophantus karena
Khwarizmi adalah yang pertama untuk mengajar aljabar dalam bentuk dasar dan
untuk kepentingan diri sendiri, Diophantus terutama berkaitan dengan teori
nomor ".
^ Rashed, R .; Armstrong, Angela (1994),
Pengembangan Matematika Arab, Springer, pp. 11-2, ISBN 0792325656, OCLC
29181926
^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund
F., "Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi", MacTutor Sejarah Matematika
arsip
^ Victor J. Katz, Bill Barton (Oktober
2007), "Tahapan dalam Sejarah Aljabar dengan Implikasi untuk
Mengajar", Studi Pendidikan Matematika (Springer Belanda) 66 (2): 185-201
[192], doi: 10,1007 / s10649-006-9023-7
^ (Boyer 1991, "The Arab
Hegemoni" p. 239) "Abu'l Wefa adalah aljabar mampu serta trigonometer
a. [...] Penggantinya al-Karkhi jelas digunakan terjemahan ini untuk menjadi
murid Arab Diophantus - tapi tanpa analisis Diophantine [...] secara khusus,
al-Karkhi dikaitkan solusi numerik pertama persamaan dari bentuk ax2n + BXN = c
(hanya persamaan dengan akar positif dianggap), "
Referensi
Donald R. Hill, Sains Islam dan Teknik
(Edinburgh University Press, 1994).
Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, dan Borin
Van Loon, Memperkenalkan Matematika (Totem Books, 1999).
George Gheverghese Joseph, The Crest
dari Merak: Akar Non-Eropa Matematika (Penguin Books, 2000).
John J O'Connor dan Edmund F Robertson,
MacTutor Sejarah Matematika arsip (University of St Andrews, 2005).
DI. Herstein: Topik dalam Aljabar. ISBN
0-471-02371-X
R.B.J.T. Allenby: Rings, Fields dan
Grup. ISBN 0-340-54440-6
L. Euler: Elemen Aljabar, ISBN
978-1-89961-873-6
link eksternal
4000 Tahun Aljabar, kuliah oleh Robin
Wilson, di Gresham College 17 Oktober 2007 (tersedia untuk MP3 dan MP4, serta
file teks).
entri Aljabar di Stanford Encyclopedia
of Philosophy oleh Vaughan Pratt
EmoticonEmoticon